题目内容
【题目】设函数 .
(Ⅰ)当 时,讨论
的单调性;
(Ⅱ)设 ,若
恒成立,求
的取值范围
【答案】解:(Ⅰ)由已知,当 时,
,
∴ ,
∵ 在
上单调递增,且
,
∴ 时,
时,
,
∴ 在
上单调递减,在
上单调递增.
(Ⅱ)(方法一)由题可得, ,
则 ,
∵ ,∴
在
上单调递增,
,
,
∴ 使得
,则
,
由 知
,且
时,
时,
,
∴ ,∴
,∴
,∴
,
∴ 的取值范围是
.
(方法二)由题可得 恒成立,
令 ,则
,
∴ 时,
时,
,
∴ ,∴
,解得:
,
∴ 的取值范围是
.
【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)法一:求出g(x)的导数,得到g(x)的最小值,从而求出a的范围即可;法二:问题转化为恒成立,令
,根据函数的单调性求出a的范围即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的单调性的相关知识,掌握注意:函数的单调性是函数的局部性质;函数的单调性还有单调不增,和单调不减两种.
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