Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣1﹣x﹣ax2 ． （Ⅰ）当a=0时，求证：f（x）≥0；
（Ⅱ）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若x＞0，证明（ex﹣1）ln（x+1）＞x2 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）a=0时，f（x）=ex﹣1﹣x， f′（x）=ex﹣1
当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0
故在单调递减，在单调递增，
f（x）min=f（0）=0，∴f（x）≥0
（Ⅱ）f'（x）=ex﹣1﹣2ax，令h（x）=ex﹣1﹣2ax，则h'（x）=ex﹣2a．
1）当2a≤1时，在[0，+∞）上，h'（x）≥0，h（x）递增，h（x）≥h（0），
即f'（x）≥f'（0）=0，∴f（x）在[0，+∞）为增函数，
∴f（x）≥f（0）=0，∴ 时满足条件；
2）当2a＞1时，令h'（x）=0，解得x=ln2a，
当x∈[0，ln2a）上，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
∴x∈（0，ln2a）时，有h（x）＜h（0）=0，即f'（x）＜f'（0）=0，
∴f（x）在区间（0，ln2a）为减函数，
∴f（x）＜f（0）=0，不合题意
综上得实数a的取值范围为
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当a= 时，x＞0，ex＞1+x+ ，即ex﹣1＞x+ ，
欲证不等式（ex﹣1）ln（x+1）＞x2 ， 只需证ln（x+1）＞
设F（x）=ln（x+1）﹣ ，则F′（x）= ，
∵x＞0时，F′（x）＞0恒成立，且F（0）=0，
∴F（x）＞0恒成立．
所以原不等式得证
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于x的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，证出结论即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，根据
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．