Question

4．已知函数f（x）=log₂（x+1），g（x）=log₂（3x+1）．
（1）求出使g（x）≥f（x）成立的x的取值范围；
（2）当x∈[0，+∞）时，求函数y=g（x）-f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用对数函数y=log₂x的单调性即可求得g（x）≥f（x）成立的x的取值范围；
（2）分析函数y=g（x）-f（x）的单调性，结合x∈[0，+∞）可得函数y=g（x）-f（x）的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=log₂（x+1），g（x）=log₂（3x+1），g（x）≥f（x），
∴3x+1≥x+1＞0，
∴x≥0．
即使g（x）≥f（x）成立的x的取值范围为[0，+∞）．
（2）∵y=g（x）-f（x）
=log₂（3x+1）-log₂（x+1）
=log₂$\frac{3x+1}{x+1}$（x≥0）．
令h（x）=$\frac{3x+1}{x+1}$=3-$\frac{2}{x+1}$，
则h（x）为[0，+∞）上的增函数，
∴1≤h（x）＜3，
故y=g（x）-f（x）∈[0，log₂3]，
即函数y=g（x）-f（x）的值域为[0，log₂3]

点评 本题考查对数函数的单调性，考查解不等式组的能力，属于中档题．