Question

【题目】从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同．在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数x的分布列．
（1）每次取出的产品都不放回此批产品中；
（2）每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品；
（3）每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中．

Answer 1

【答案】
（1）解：X的取值为1，2，3，4．

当X=1时，只取一次就取到合格品，

∴P（X=1）= ；

当X=2时，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，

∴P（X=2）= ；

类似地有：

P（X=3）= ，

P（X=4）= ，

∴X的分布列为：

X	1	2	3	4
P

（2）解：X的取值为1，2，3，…，n，…．

当X=1时，只取一次就取到合格品，∴P（X=1）= ；

当X=2时，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，∴P（X=2）= ；

当X=3时，即第一、二次均取到次品，而第三次取取到合格品，

∴P（X=3）= ；

类似地当X=n时，即前n﹣1次均取到次品，而第n次取到合格品，

∴P（X=n）=（ ）n﹣1× ，n=1，2，3，

∴X的分布列为：

X	1	2	3	…	n	…
P				…		…

（3）解：X的取值为1，2，3，4．

当X=1时，只取一次就取到合格品，∴P（X=1）= ；

当X=2时，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，注意第二次取时，这批产品有11个合格品，2个次品，

∴P（X=2）= ；

类似地，P（X=3）= ；

P（X=4）= ，

∴ξ的分布列为：

X	1	2	3	4
P

【解析】（1）X的取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）X的取值为1，2，3，…，n，…，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（3）X的取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．