Question

【题目】已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴，且抛物线上点P（2，m）到焦点的距离为3，斜率为2的直线L与抛物线相交于A，B两点且|AB|=3 ，求抛物线和直线L的方程．

Answer 1

【答案】解：∵抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，
抛物线C上的点M（2，m）到焦点F的距离为3，
∴设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），
M到准线的距离为3，即 +2=3，解得p=2，
∴抛物线C的方程为y2=4x．
设直线l的方程为y=2x+b，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
由直线与抛物线联立，可得4x2+（4b﹣4）x+b2=0，
∴x1+x2=1﹣b，x1x2= ，
∴|AB|= =3 ，
∴b=﹣2，
∴直线L的方程是y=2x﹣2
【解析】由已知条件设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），且 +2=3，由此能求出抛物线C的方程；设直线l的方程为y=2x+b，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由直线与抛物线联立，可得4x2+（4b﹣4）x+b2=0，由此利用弦长公式能求出直线l的方程．