Question

【题目】综合题。
（1）现有5名男生和3名女生．若从中选5人，且要求女生只有2名，站成一排，共有多少种不同的排法？
（2）从{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}中任选三个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c的系数，问能组成多少条经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线？
（3）已知（ +2x）n ， 若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数．

Answer 1

【答案】
（1）解：分三步完成：先从3名女生中选出2名，有 种方法，再从5名男生中选出3名，有 种方法，将选择出的5人全排列，有 ，

根据分步计数原理，共有 =3600种

（2）解：∵抛物线过原点，∴c=0，c只有1种取法；

当顶点在第一象限时，必开口向下，且对称轴在y轴右边，∴a＜0，b＞0，

∴a可取﹣1，﹣2，﹣3，有3种方法；b可取1，2，3，4，有4种方法，

共得到3×4=12条抛物线．

当顶点在第三象限时，必开口向上，且对称轴在y轴左边，∴a＞0，b＞0，

即a，b只能在1，2，3，4中取，由于a，b不相同，所以有 种取法，

得到 条抛物线…（8分） 所以共有不同的抛物线条数为 +12=24条

（3）解：（ +2x）n的若展开式通项

∵第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，

∴ ，解得n=7或n=14，

∴当n=7时，二项式系数最大的项是T4和T5，

其中T4= ，T5= ，系数分别为 ，70．

∴当n=14时，二项式系数最大的项是T8= ，系数为 =3432

【解析】（1）分三步完成：先从3名女生中选出2名，有 种方法，再从5名男生中选出3名，有 种方法，将选择出的5人全排列，有 ，根据分步计数原理即可得出．（2）由抛物线过原点，可得c=0，c只有1种取法．对顶点分类讨论：当顶点在第一象限时，必开口向下，且对称轴在y轴右边，可得a＜0，b＞0．当顶点在第三象限时，必开口向上，且对称轴在y轴左边，可得a＞0，b＞0，进而得出．（3）（ +2x）n的若展开式通项 ，由第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，可得 ，解得n，再利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．