题目内容

19.设F(c,0)为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1(a>0,b>0)的右焦点,点B的坐标为(0,b).若圆(x-c)2+y2=r2(r>0)与双曲线的渐近线相切,且|FB|≥$\sqrt{3}$r,则该双曲线的离心率e的取值范围是(  )
A.$(1,\sqrt{2}]$B.$[\sqrt{2},+∞)$C.$(1,\sqrt{3}]$D.$[\sqrt{3},+∞)$

分析 利用圆(x-c)2+y2=r2(r>0)与双曲线的渐近线相切,可得r=b,利用|FB|≥$\sqrt{3}$r,即可求出双曲线的离心率e的取值范围.

解答 解:双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为bx-ay=0,
因为圆(x-c)2+y2=r2(r>0)与双曲线的渐近线相切,
所以$\frac{|bc|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=r,所以r=b,
因为|FB|≥$\sqrt{3}$r,
所以$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$≥$\sqrt{3}$b,
所以$\frac{1}{2}$c2≥b2
所以$\frac{1}{2}$c2≥c2-a2
因为e>1,所以1<e≤$\sqrt{2}$.
故选:A.

点评 熟练掌握圆的标准方程、双曲线的渐近线方程、圆与直线相切的性质、点到直线的距离公式是解题的关键.

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