Question

4．已知函数f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x-a．
（1）若f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上的最大值为3，求实数a的值；
（2）若f（x）在[$\frac{π}{4}$π]上只有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-a，根据-$\frac{π}{3}$≤x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{3}$，即$-\sqrt{3}$≤2sin（2x-$\frac{π}{3}$）$≤\sqrt{3}$求解．
（2）f（x）在[$\frac{π}{4}$π]上只有一个零点，得出y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）与y=a，在[$\frac{π}{4}$π]上只有一个交点，
运用图象判断范围．

解答 解：∵f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x-a．
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-a，
（1）∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，
∴-$\frac{π}{3}$≤x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{3}$，
即$-\sqrt{3}$≤2sin（2x-$\frac{π}{3}$）$≤\sqrt{3}$的最大值为$\sqrt{3}-a$．
∵f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上的最大值为3，
∴$\sqrt{3}-a$=3，a=$\sqrt{3}-3$．
（2）∵x∈[$\frac{π}{4}$π]，
∴$\frac{π}{6}$≤2x$-\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{3}$
∵f（x）在[$\frac{π}{4}$π]上只有一个零点，

∴y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）与y=a，在[$\frac{π}{4}$π]上只有一个交点，
∴a=2或-$\sqrt{3}$＜a＜1，或a=-2，

点评 本题考查了三角变换及三角函数的图象与性质，解题的关键是把函数化成正弦型函数的标准形式，利用单调性求解，关键是画出图象判断即可．