Question

14．若f（x）=cosx+3$\int_0^1{f（x）}$dx，则$\int_0^1{f（x）dx}$=$-\frac{1}{2}sin1$．

Answer 1

分析 令$\int_0^1{f（x）dx}$=F（1）-F（0），求得F（x）=∫f（x）dx，进一步求得F（1），F（0），则答案可求．

解答 解：令$\int_0^1{f（x）dx}$=F（1）-F（0），F（x）=∫f（x）dx，
则F（x）=∫f（x）dx=sinx+3x（F（1）-F（0））+c，
F（1）=sin1+3（F（1）-F（0））+c，
F（0）=c，
∴$\int_0^1{f（x）dx}$=F（1）-F（0）=-$\frac{1}{2}sin1$，
故答案为：$-\frac{1}{2}sin1$．

点评 本题考查定积分和不定积分，考查数学转化思想方法，属中档题．