题目内容
【题目】已知函数,其中
是自然数的底数,
.
(1)当时,解不等式
;
(2)若在
上是单调增函数,求
的取值范围;
(3)当时,求整数
的所有值,使方程
在
上有解.
【答案】(1)(2)
(3){-3,1}
【解析】
试题(1)利用,将不等式转化为二次不等式进行求解;(2)根据
在区间D上递增等价于
在区间D上恒成立;(3)构造函数,利用零点存在定理进行求解.
试题解析:(Ⅰ)∵ex>0,∴当f(x)>0时即ax2+x>0,
又∵a<0,∴原不等式可化为x(x+)<0,∴f(x)>0的解集为(0,-
);
(Ⅱ)∵f(x)=(ax2+x)ex,∴f,(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x)ex=[ax2+(2a+1)x+1]ex,
①当a=0时,f,(x)=(x+1)ex,∵在[-1,1]上恒成立,当且仅当x=-1时取“=”,
∴a=0满足条件;
②当a≠0时,令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,
∵△=(2a+1)2-4a=4a2+1>0,
∴g(x)=0有两个不等的实根x1、x2,
不妨设x1>x2,因此f(x)有极大值和极小值;
若a>0,∵g(-1)g(0)=-a<0,∴f(x)在(-1,1)内有极值点,∴f(x)在[-1,1]上不单调;
若a<0,则x1>0>x2,∵g(x)的图象开口向下,要使f(x)在[-1,1]单调递增,由g(0)=1>0,
∴即
,∴-
≤a≤0;综上可知,a的取值范围是[-
,0];
(Ⅲ)当a=0时,方程f(x)=x+2为xex=x+2,
∵ex>0,∴x=0不是原方程的解,
∴原方程可化为ex--1=0;
令h(x)=ex--1,∵h,(x)=ex+
>0在x∈(-∞0)∪(0+∞)时恒成立,
∴h(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上是单调增函数;又h(1)=e-3<0,h(2)=e2-2>0,
h(-3)=e-3<0,h(-2)=e-2>0,
∴方程f(x)=x+2有且只有两个实根,且分别在区间[1,2]和[-3,-2]上,
所以,整数k的所有值为{-3,1}.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某超市计划按月订购一种饮料,每天进货量相同,进货成本每瓶3元,售价每瓶5元,每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温
单位:
有关
如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间
,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为100瓶
为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得到下面的频数分布表:
最高气温 | ||||||
天数 | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
Ⅰ
求六月份这种饮料一天的需求量
单位:瓶
的分布列,并求出期望EX;
Ⅱ
设六月份一天销售这种饮料的利润为
单位:元
,且六月份这种饮料一天的进货量为
单位:瓶
,请判断Y的数学期望是否在
时取得最大值?