题目内容

【题目】如图1,等边△ABC中,AC=4,D是边AC上的点(不与A,C重合),过点D作DE∥BC交AB于点E,沿DE将△ADE向上折起,使得平面ADE⊥平面BCDE,如图2所示.

(1)若异面直线BE与AC垂直,确定图1中点D的位置;

(2)证明:无论点D的位置如何,二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值,并求出这个定值.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】

1)取DE中点OBC中点F,连结OAOF,以O为原点,OEOFOA所在直线分别为xyz轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出图1中点D在靠近点A的三等分点处;

2)求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量,利用向量法能证明无论点D的位置如何,二面角DAEB的余弦值都为定值

解:(1)在图2中,取DE中点OBC中点F,连结OAOF

O为原点,OEOFOA所在直线分别为xyz轴,建立空间直角坐标系,

OAx,则OF2xOE

B22x0),E00),

A00x),C(﹣22x0),

(﹣22x,﹣x),

2x20),

∵异面直线BEAC垂直,

80

解得x(舍)或x

∴图1中点D在靠近点A的三等分点处.

证明:(2)平面ADE的法向量010),

0,﹣x),2x20),

设平面ABE的法向量abc),

,取a1,得1),

设二面角DAEB的平面角为θ

cosθ

∴无论点D的位置如何,二面角DAEB的余弦值都为定值

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