题目内容
【题目】如图1,等边△ABC中,AC=4,D是边AC上的点(不与A,C重合),过点D作DE∥BC交AB于点E,沿DE将△ADE向上折起,使得平面ADE⊥平面BCDE,如图2所示.
(1)若异面直线BE与AC垂直,确定图1中点D的位置;
(2)证明:无论点D的位置如何,二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值,并求出这个定值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)取DE中点O,BC中点F,连结OA,OF,以O为原点,OE、OF、OA所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出图1中点D在靠近点A的三等分点处;
(2)求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量,利用向量法能证明无论点D的位置如何,二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值.
解:(1)在图2中,取DE中点O,BC中点F,连结OA,OF,
以O为原点,OE、OF、OA所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
设OA=x,则OF=2x,OE
,
∴B(2,2x,0),E(
,0,0),
A(0,0,x),C(﹣2,2x,0),
(﹣2,2
x,﹣x),
(
2,x﹣2
,0),
∵异面直线BE与AC垂直,
∴8=0,
解得x(舍)或x
,
∴,
∴图1中点D在靠近点A的三等分点处.
证明:(2)平面ADE的法向量(0,1,0),
(
,0,﹣x),
(
2,x﹣2
,0),
设平面ABE的法向量(a,b,c),
则,取a=1,得
(1,
,
),
设二面角D﹣AE﹣B的平面角为θ,
则cosθ,
∴无论点D的位置如何,二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值.
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【题目】使用支付宝和微信支付已经成为广大消费者最主要的消费支付方式,某超市通过统计发现一周内超市每天的净利润(万元)与每天使用支付宝和微信支付的人数
(千人)具有相关关系,并得到最近一周
的7组数据如下表,并依此作为决策依据.
周一 | 周二 | 周三 | 周四 | 周五 | 周六 | 周日 |
13 | 16 | 26 | 22 | 25 | 29 | 30 |
7 | 11 | 15 | 22 | 24 | 27 | 34 |
(Ⅰ)作出散点图,判断与
哪一个适合作为每天净利润的回归方程类型?并求出回归方程(
,
,
,
精确到
);
(Ⅱ)超市为了刺激周一消费,拟在周一开展使用支付宝和微信支付随机抽奖活动,总奖金7万元.根据市场调查,抽奖活动能使使用支付宝和微信支付消费人数增加6千人,7千人,8千人,9千人的概率依次为,
,
,
.试决策超市是否有必要开展抽奖活动?
参考数据: ,
,
,
.
参考公式:,
,
.