题目内容
【题目】(1)已知是定义在
上的奇函数,求实数
、
的值;
(2)已知是定义在
上的函数,求实数
的取值范围.
【答案】(1),
;(2)
【解析】
(1)根据题意,由奇函数的性质可得f(0)=lglgb=0,解可得b
,又由f(x)+f(﹣x)=0,可得a的值,即可得答案.(2)根据题意,分析可得不等式
ax>0在R上恒成立;即
ax恒成立,转化为两个函数y=
和y=ax,先求相切的临界情况,再由不等关系,即可得答案.
(1)是定义在R上的奇函数,
则有f(0)=lglgb=0,则b
,
且f(x)+f(﹣x)=lg(ax)+lg(
ax)﹣2lg
lg[(x2+2)﹣a2x2]﹣lg2=lg[(1﹣a2)x2+2)]﹣lg2=0,
即(1﹣a2)x2=0恒成立;
可得:a=±1;
故a=±1,b;
(2)若f(x)=lg(ax)﹣lgb为定义在R上的函数,
则ax>0在R上恒成立;即
ax恒成立,
令y=此函数为焦点在y轴上的双曲线的上支,令y=ax,当y=ax与y=
相切时,两式联立消去y,得
,
,故
ax恒成立时,﹣1<a<1
即a的取值范围为(-1,1).

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