题目内容
13.(1)$(\sqrt{x}+\frac{1}{2x}{)^n}$的展开式中第5项和第6项的二项式系数最大,求展开式的常数项.(2)(1-2x)2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015(x∈R)
①求a0+a1+a2+…+a2015的值.
②求$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+…+\frac{{{a_{2015}}}}{{{2^{2015}}}}$的值.
分析 (1)根据题意得出n的值,再利用展开式的通项公式求出常数项;
(2)由(1-2x)2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015,令x=1,可求出a0+a1+a2+…+a2015的值;令x=0和$\frac{1}{2}$,可求出a0与$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2015}}{{2}^{2015}}$的值.
解答 解:(1)∵$(\sqrt{x}+\frac{1}{2x}{)^n}$的展开式中第5项和第6项的二项式系数最大,
∴展开式有10项,n=9;
∴展开式的通项为
Tr+1=${C}_{9}^{r}$•${(\sqrt{x})}^{9-r}$•${(\frac{1}{2x})}^{r}$
=${C}_{9}^{r}$•${(\frac{1}{2})}^{r}$•$\frac{9-3r}{2}$;
令$\frac{9-3r}{2}$=0,
解得r=3;
∴展开式中常数项为${C}_{9}^{3}$•${(\frac{1}{2})}^{3}$=$\frac{21}{2}$;
(2)①∵(1-2x)2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015(x∈R),
∴令x=1,得a0+a1+a2+…+a2015=(1-2)2015=-1;
②令x=0,得a0=(1-0)2015=1;
令x=$\frac{1}{2}$,得a0+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2015}}{{2}^{2015}}$=(1-1)2=0;
∴$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2015}}{{2}^{2015}}$=-a0=-1.
点评 本题考查了二项式定理的应用问题,也考查了用特殊值求二项展开式的系数的应用问题,是综合性题目.
A. | 2 | B. | -1 | C. | -2 | D. | 3 |
A. | ?x0∈R,e${\;}^{{x}_{0}}$≤0 | B. | ?x∈R,2x>x2 | ||
C. | 命题:若x≠y,则sinx≠siny逆否命题 | D. | a>1,b>1是ab>1的充分不必要条件 |
A. | $\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1 | B. | $\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1 | C. | $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1 | D. | $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1 |