题目内容
5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且7asinB=4c,cosB=$\frac{3}{5}$.(1)求角A的大小;
(2)设BC边上的中点为D,|AD|=$\sqrt{137}$,求△ABC的面积.
分析 (1)由cosB=$\frac{3}{5}$,可得sinB,又7asinB=4c,代入得7a=5c,由正弦定理得7sinA=5sinC,化简可得tanA=1,从而可求A的值.
(2)由余弦定理可得:AB2+BD2-2AB•BDcosB=137,代入可解得c=14,a=10,利用三角形面积公式即可得解.
解答 解:(1)∵由cosB=$\frac{3}{5}$,得sinB=$\frac{4}{5}$,…(1分)
又∵7asinB=4c,
∴代入得7a=5c,
由$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$,得7sinA=5sinC,…(3分)
∴7sinA=5sin(A+B),7sinA=5sinAcosB+5cosAsinB,…(5分)
∴得tanA=1,A=$\frac{π}{4}$,…(7分)
(2)∵由余弦定理可得:AB2+BD2-2AB•BDcosB=137,…(9分)
∴c2+($\frac{5c}{14}$)2-2c×$\frac{5}{14}c×\frac{3}{5}$=137,c=14,
∴则a=10,…(12分)
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×14×10×\frac{4}{5}=56$.…(15分)
点评 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角函数恒等变换的应用,三角形面积公式的应用,属于基本知识的考查.
练习册系列答案
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A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |