Question

8．设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使得f（x）在区间[a，b]上的值域为[$\frac{a}{n}$，$\frac{b}{n}$]（n∈N^*），则称函数f（x）为“n倍缩函数”，若函数f（x）=log₃（3^x+t）为“2倍缩函数”，则t的取值范围为0＜t＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根据题意，转化为方程log₃（3^x+t）=$\frac{x}{2}$有两个不同的实数解，分离出t，利用函数的图象与性质，求出t的取值范围．

解答 解：由题意得[a，b]⊆D，使得log₃（3^a+t）=$\frac{a}{2}$，log₃（3^b+t）=$\frac{b}{2}$，
即方程log₃（3^x+t）=$\frac{x}{2}$有两个不同的解，
即3^x+t=${3}^{\frac{x}{2}}$有两个不同的解，
变形得t=${3}^{\frac{x}{2}}$-3^x有两个不同的解，
令${3}^{\frac{x}{2}}$=m，则m＞0，
换元得t=m-m²有两个不同的正数解，
即y=t与y=m-m²有两个不同交点，
∵y=-m²+m=-${（m-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
∴0＜t＜$\frac{1}{4}$．
故答案为：0＜t＜$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了函数的定义域和值域、单调性与转化思想以及新定义的应用问题，是综合性题目．