Question

11．已知抛物线y²=8x，P是抛物线的动弦AB的中点．
（Ⅰ）当P的坐标为（2，3）时，求直线AB的方程；
（Ⅱ）当直线AB的斜率为1时，求线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用中点坐标公式和点差法，及直线的斜率公式，计算即可得到所求直线方程；
（Ⅱ）设AB方程为y=x+b，代入抛物线方程，运用判别式大于0，韦达定理，求出中点和斜率，可得垂直平分线的方程，令y=0，进而得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=6，
又y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，
两式相减得：y₁²-y₂²=8（x₁-x₂），
∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{8}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{4}{3}$，
故AB的方程为y-3=$\frac{4}{3}$（x-2），即4x-3y+1=0；
（Ⅱ）设AB方程为y=x+b，
代入抛物线方程y²=8x得：y²-8y+8b=0，
∵△=64-32b＞0，∴b＜2，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=4，
弦AB的中点（4-b，4），
故线段垂直平分线方程为y-4=-（x-4+b），
令y=0，得x=-b+8，
∵b＜2，∴x＞6，
即线段AB的垂直平分线在x轴上的截距范围（6，+∞）．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查点差法和直线的斜率和方程的求法，属于中档题．