题目内容
8．
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知点D为棱BC中点．（1）如果AB=AC，求证：平面ADC1⊥平面BB1C1C；
（2）求证：A1B∥平面AC1D．
分析 （1）由CC1⊥平面ABC．可证CC1⊥AD，由AB=AC，D为BC中点，可证AD⊥BC，即可证明AD⊥平面BB1C1C从而可证平面AC1D⊥平面BB1C1C．
（2）连结A1C，设A1C∩AC1=E，连结DE．可得E为A1C中点，由D为BC中点，可证DE∥A1B，即可证明A1B∥平面AC1D．
解答 
证明：（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．
因为AD?平面ABC，所以CC1⊥AD． …（2分）
因为AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC．…（4分）
因为BC?平面BB1C1C，CC1?平面BB1C1C，BC∩CC1=C，
所以AD⊥平面BB1C1C．…（6分）
因为AD?平面AC1D，
所以平面AC1D⊥平面BB1C1C．…（8分）
（2）连结A1C，设A1C∩AC1=E，连结DE．
因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1C1C为平行四边形，
所以E为A1C中点． …（10分）
因为D为BC中点，所以DE∥A1B．…（12分）
因为DE?平面AC1D，A1B?平面AC1D，
所以A1B∥平面AC1D．…（14分）
点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．
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