题目内容

【题目】如图,设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且0,若过 A,Q,F2三点的圆恰好与直线相切,过定点 M(0,2)的直线与椭圆C交于G,H两点(点G在点M,H之间).(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线的斜率,在x轴上是否存在点P(,0),使得以PG,PH为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出的取值范围;如果不存在,请说明理由;(Ⅲ)若实数满足,求的取值范围.

【答案】(1);(2);(3).

【解析】

试题(1)利用向量确定F1为F2Q中点,设Q的坐标为(-3c,0),因为AQ⊥AF2,所以b2=3c×c=3c2,a2=4c×c=4c2,再由直线与圆相切得 解得c=1,利用椭圆基本量之间的关系求b;(2)假设存在,设方程,联立方程组,消元后由判别式大于0可得出,又四边形为菱形时,对角线互相垂直,利用向量处理比较简单,,化简得(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k=0,再由 代入化简得:

解得,利用均值不等式范围;(3) 斜率存在时设直线方程,联立消元,,再由,进行坐标运算,代入化简,分离k与,利用k的范围求,注意验证斜率不存在时情况.

试题解析:(1)因为0,所以F1为F2Q中点

设Q的坐标为(-3c,0),因为AQ⊥AF2,所以b2=3c×c=3c2,a2=4c×c=4c2

且过A,Q,F2三点的圆的圆心为F1(-c,0),半径为2c.

因为该圆与直线L相切,所以 解得c=1,所以a=2,故所求椭圆方程为.(2)设L1的方程为y=kx+2(k>0)由得(3+4k2)x2+16kx+4=0,

由△>0,得 所以k>1/2,设G(x1,y1),H(x2,y2),则所以(x1-m,y1)+(x2-m,y2=(x1+x2-2m,y1+y2=(x1+x2-2m,k(x1+x2)+4)(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1,k(x2-x1)),由于菱形对角线互相垂直,因此所以(x2-x1)[(x1+x2)-2m]+k(x2-x1)[k(x1+x2)+4]=0,故(x2-x1)[(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k]=0因为k>0,所以x2-x1≠0所以(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k=0,即(1+k2)(x1+x2)+4k-2m=0,所以

,解得, 因为k>0,所以故存在满足题意的点P且m的取值范围是.(3)①当直线L1斜率存在时,设直线L1方程为y=kx+2,代入椭圆方程,得(3+4k2)x2+16kx+4=0 , 由△>0,得,设G(x1,y1),H(x2,y2), 则,又,所以(x1,y1-2)=λ(x2,y2-2), 所以x1=λx2, 所以,∴,整理得 ,因为, 所以 ,解得又0<λ<1,所以 .②当直线L1斜率不存在时,直线L1的方程为x=0,

,所以 .综上所述,

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