题目内容
【题目】设数列满足
,其中A,B是两个确定的实数,
(1)若,求
的前n项和;
(2)证明:不是等比数列;
(3)若,数列
中除去开始的两项外,是否还有相等的两项,并证明你的结论.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)没有,理由见解析
【解析】
(1)由,数列
的前n项和为一个等比数列和一个等差数列的前
项和,根据等比、等差数列的前
项和公式,即可求解;
(2)用反证法证明,求出,假设
是等比数列,由
得出
关系,化简
,不满足
,所以假设不成立,即可证明结论;
(3)由,得出
,且
,得
,设
,证明
是递增数列,可得结论.
(1),故前n项之和
(2),
,
.
若是等比数列,则
即,即
.
因,故
,且
.
此时,,
,
,不满足
.
因此不是等比数列.
(3)即
,即
,且
.
此时,.
设.
,
当且仅当时等号成立,故
.
即除外,
的各项依次递增.
因此中除去
和
之外,没有其它的两项相等.
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