题目内容
【题目】已知椭圆长轴长为短轴长的两倍,连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4,直线
过点
,且与椭圆相交于另一点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若线段长为
,求直线
的倾斜角;
(3)点在线段
的垂直平分线上,且
,求
的值.
【答案】(1);(2)
或
;(3)
或
.
【解析】
(1)由椭圆长轴长为短轴长的两倍,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4,列出方程组求出
,
,即可求椭圆的方程;
(2)直线的方程代入椭圆方程,利用韦达定理,结合弦长公式,即可求得结论.
(3)设直线的方程为
,由
,得
,由此根据
和
两种情况分类讨论经,能求出结果.
解:(1)椭圆
长轴长为短轴长的两倍,
连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4,
,
解得,
.
所以椭圆的方程为.
(2)由(1)可知点的坐标是
.
设点的坐标为
,
,直线
的斜率为
,则直线
的方程为
.
代入椭圆方程,消去并整理,得
.
由,得
.
从而.
所以.
由,得
.
整理得,即
,解得
.
所以直线的倾斜角
或
.
(3)由(1)可知.设
点的坐标为
,
,直线
的斜率为
,
则直线的方程为
,
于是,
两点的坐标满足方程组
,
由方程组消去并整理,得
,
由,得
,从而
,
设线段是中点为
,则
的坐标为
,
,
以下分两种情况:
①当时,点
的坐标为
.线段
的垂直平分线为
轴,于是
,
,由
,得
;
②当时,线段
的垂直平分线方程为
,
令,解得
,
由,
,
,
,
整理得,故
,解得
.
综上或
.
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