题目内容
【题目】在斜三棱柱中,
,侧面
是边长为4的菱形,
,
,
、
分别为
、
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)若,求二面角
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析; (2) .
【解析】
(1)结合菱形的性质和勾股定理,证得,再由
,得到
,利用线面垂直的判定定理,即可证得
平面
;
(2)以为坐标原点,以射线
为
轴,以射线
为
轴,过
向上作平面的垂线为
轴建立空间直角坐标系,求得平面
和
的法向量,利用向量的夹角公式,即可求解.
(1)由题意,因为是菱形,
,
为
中点,所以
.
又因为是直角三角形
的斜边
的中线,
故,又
,
,
所以,所以
是直角三角形,∴
,
因为,所以
平面
,所以
,
又因为,
,所以
,所以
平面
.
(2)由(1)知平面
,因为
平面
,所以平面
平面
,
又由,所以
平面
,
以为坐标原点,以射线
为
轴,以射线
为
轴,过
向上作平面
的垂线为
轴建立空间直角坐标系,如图所示,则
轴,
则,
,
,
,
,
,
,
,
由(1)知平面
,∴平面
的法向量
,
设平面的法向量
,
,
,
则,即
,
令,则
,
.即
,
所以,
所以,
故二面角的正弦值为
.
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