Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，且的周长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过点的直线与椭圆交于两点，点在直线上，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据题意，得到，求出，得到，进而可求出椭圆方程；

（2）当斜率为时，得到，易求出结果；当直线不斜率为时，设，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及弦长公式等，得到，再令，，将原式化为，根据二次函数性质，即可求出结果.

（1）由题意可得：，

解得：，所以；

故椭圆方程为：；

（2）①当直线斜率为时，

则

②当直线不斜率为时：设，设直线方程为，

联立方程，得，，

，，所以

令，则式，

又令，则，记为，

其对称轴，开口向上，

所以函数在上单调递减，

所以．