Question

1．己知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，O为原点，在椭圆上存在一个点P使得△OFP为等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． 2-$\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}-1$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}-1$

Answer 1

分析 把x=$\frac{c}{2}$代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得y_P．由于△OFP为等边三角形，可得y_P=$\sqrt{3}×\frac{c}{2}$．化简即可得出．

解答 解：把x=$\frac{c}{2}$代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得y=±$\frac{b}{2a}\sqrt{4{a}^{2}-{c}^{2}}$．
∵△OFP为等边三角形，
∴$\frac{b}{2a}\sqrt{4{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}×\frac{c}{2}$．
化为：e⁴-8e²+4=0，0＜e＜1．
解得e²=4-2$\sqrt{3}$，解得e=$\sqrt{3}$-1．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．