Question

8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，点（a，b）在直线x（sinA-sinB）+ysinB=csinC上．
（1）求C的大小；
（2）若c=7，求△ABC的周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把点（a，b）代入直线方程，利用正弦定理进行化简后求出cosC的值，由内角的范围即可求出C；
（2）利用余弦定理和基本不等式化简，求出a+b的范围，再由三边的关系求出△ABC周长的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，点（a，b）在直线x（sinA-sinB）+ysinB=csinC上，
∴a（sinA-sinB）+bsinB=csinC，
根据正弦定理得，a（a-b）+b²=c²，
整理得，ab=a²+b²-c²，则cosC=$\frac{1}{2}$，
由0＜C＜π得，C=$\frac{π}{3}$；
（2）由（1）和余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab
则49=（a+b）²-3ab≥${（a+b）}^{2}-\frac{3}{4}（a+b）^{2}=\frac{1}{4}（a+b）^{2}$，
∴（a+b）²≤4×49，则a+b≤14（当且仅当a=b时等号成立），
∵a+b＞7，c=7，
∴△ABC的周长的取值范围是（14，21]．

点评 本题考查了正弦、余弦定理，三角形三边关系，以及基本不等式的综合应用，属于中档题．