题目内容
16．
如图，已知三棱锥P-ABC中，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB上的点，若PA=PB=PC=$\sqrt{2}$，AB=AC=BC=1，且$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AD}{AP}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{BG}{BP}$．（1）判断四边形DEFG的形状并求其面积的最大值；
（2）在（1）的条件下是否存在点Q，到三棱锥P-ABC六条棱的中点相等．
分析 （1）由$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AD}{AP}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{BG}{BP}$，得出DE∥GF，DG∥EF，判断四边形DEFG是平行四边形；
再利用等腰三角形底边的中线，判断平行四边形DEFG是矩形，从而求出矩形DEFG面积的最大值；
（2）利用该三棱锥的对称性，得出在（1）的条件下存在点Q，到三棱锥P-ABC六条棱的中点的距离相等．
解答 解：（1）三棱锥P-ABC中，$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AD}{AP}$，∴DE∥PC，
$\frac{BF}{BC}$=$\frac{BG}{BP}$，∴GF∥PC，
∴DE∥GF；
同理，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
又取AB的中点M，连接PM、CM，∴PM⊥AB，CM⊥AB，
如图1所示；
且PM∩CM=M，
∴AB⊥平面PCM，
又PC?平面PCM，
∴AB⊥PC，
又AB∥EF，DE∥PC，
∴EF⊥DE，
平行四边形DEFG是矩形；
在矩形DEFG中，
∵$\frac{DE}{PC}$=$\frac{AE}{AC}$，∴DE=$\frac{PC}{AC}$•AE=$\sqrt{2}$AE；
又∵$\frac{EF}{AB}$=$\frac{CE}{AC}$，∴EF=$\frac{AB}{AC}$•CE=CE；
∴矩形DEFG的面积为S矩形DEFG=DE•EF=$\sqrt{2}$AE•CE
当AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$时，S矩形DEFG的面积最大，
最大值为$\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
（2）在（1）的条件下存在点Q，到三棱锥P-ABC六条棱的中点的距离相等；
理由是：连接DF、EG，设Q为EG的中点，
则DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=$\frac{1}{2}$EG；
分别取AB、PC的中点M、N，连接ME、NE、MG、NG、MN，如图2所示；
与（1）同理可证，四边形MENG是矩形，其对角线的交点是EG的中点Q，
且QM=QN=$\frac{1}{2}$EG；
所以，Q为满足条件的点．
点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力，是综合性题目．
