Question

(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，且椭圆的离心率为
（1）求椭圆的方程
（2）是否存在以为直角顶点且内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由

Answer 1

解：（1）由得，                             …1分
又．                                  …2分
故椭圆方程为，
椭圆经过点，则
．                                       …3分
所以                                          … 4分
所以椭圆的标准方程为．                          …5分
（2）假设存在这样的等腰直角三角形.
明显直线的斜率存在，因为点的坐标为，设直线的方程，则直线的方程为．         …6分
由 得

所以，或[
所以点的纵坐标为                        …7分
所以．…8分
同理                    …9分[
因为是等腰直角三角形，所以，即
                              …10分
即
所以，即                    …11分
所以
即
所以，或                                  …12分
所以，或．                                   …13分
所以这样的直角三角形有三个．                              …14分

略