Question

18．已知函数$f（x）=lg\frac{x+1}{x-1}+lg（x-1）+lg（a-x）$ （a＞1）．
（I）求函数定义域并判断是否存在一个实数a，使得函数y=f（x）的图象关于某一条垂直于x轴的直线对称？若存在，求出这个实数a；若不存在，说明理由．
（II）当f（x）的最大值为2时，求实数a的值．

Answer 1

分析 （I）化简可得f（x）=lg[-x²+（a-1）x+a]，由对数有意义可得1＜x＜a，由对称轴重合可得a的方程，推出矛盾，a不存在；
（II）问题等价于t=-x²+（a-1）x+a在对称轴x=$\frac{a-1}{2}$处取得最大值100，可得a的方程，解方程可得a值．

解答 解：（I）化简可得$f（x）=lg\frac{x+1}{x-1}+lg（x-1）+lg（a-x）$ 
=lg[$\frac{x+1}{x-1}•（x-1）（a-x）$]=lg[-x²+（a-1）x+a]，
解$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{x-1}＞0}\\{x-1＞0}\\{a-x＞0}\end{array}\right.$可得1＜x＜a，
若存在的话这条直线应该是x=$\frac{1+a}{2}$，
它应该与t=-x²+（a-1）x+a的对称轴x=$\frac{a-1}{2}$重合，
故$\frac{1+a}{2}$=$\frac{a-1}{2}$，矛盾，故不存在实数a满足题意；
（II）问题等价于t=-x²+（a-1）x+a在对称轴x=$\frac{a-1}{2}$处取得最大值100，
∴$\frac{4•（-1）•a-（a-1）^{2}}{4•（-1）}$=100，解得a=19，或a=-21（舍去），
∴当f（x）的最大值为2时，实数a的值为19．

点评 本题考查对数函数的图象和性质，涉及二次函数的对称性和最值，属中档题．