Question

8．已知函数$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）用函数单调性定义证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，并求出f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）直接利用奇函数的定义判断函数为定义域上的奇函数；
（2）利用函数的单调性定义证明函数为（-∞，+∞）上的增函数，再把函数解析式变形求得函数值域．

解答 （1）解：∵$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$的定义域为R，且f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}}}{\frac{1+{2}^{x}}{{2}^{x}}}$=$-\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=-f（x），
∴f（x）是奇函数；         
（2）证明：设x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-1}{{2}^{{x}_{1}}+1}-\frac{{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}+{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}-1-{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}-{2}^{{x}_{2}}+{2}^{{x}_{1}}+1}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$
=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$．
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$，则$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
由$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$=$\frac{{2}^{x}+1-2}{{2}^{x}+1}=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$，且2^x+1＞1，∴-2$＜-\frac{2}{{2}^{x}+1}＜0$，
则f（x）∈（-1，1）．
即f（x）的值域为（-1，1）．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查了利用定义证明函数的单调性，训练了函数值域的求法，是中档题．