Question

7．已知点P是椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}$=1上任一点，且点P在第一象限内，若以P点的纵横坐标的倒数分别作为一个直角三角形的两直角边长，则该直角三角形斜边长的最小值为$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 由椭圆的参数方程可得P（3cosα，2sinα）（0＜α＜$\frac{π}{2}$），则$\frac{1}{9co{s}^{2}α}$+$\frac{1}{4si{n}^{2}α}$=（sin²α+cos²α）（$\frac{1}{9co{s}^{2}α}$+$\frac{1}{4si{n}^{2}α}$），展开运用基本不等式可得最小值，再由直角三角形的勾股定理可得斜边的最小值．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}$=1，可设P（3cosα，2sinα）（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
则$\frac{1}{9co{s}^{2}α}$+$\frac{1}{4si{n}^{2}α}$=（sin²α+cos²α）（$\frac{1}{9co{s}^{2}α}$+$\frac{1}{4si{n}^{2}α}$）
=$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$•$\frac{co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α}$+$\frac{1}{9}$•$\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$≥$\frac{13}{36}$+2$\sqrt{\frac{co{s}^{2}α}{4si{n}^{2}α}•\frac{si{n}^{2}α}{9co{s}^{2}α}}$=$\frac{13}{36}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{25}{36}$，
当且仅当2sin²α=3cos²α，即tanα=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，取得等号．
由题意可得直角三角形斜边长为$\sqrt{\frac{1}{9co{s}^{2}α}+\frac{1}{4si{n}^{2}α}}$，
即有最小值为$\frac{5}{6}$．
故答案为：$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查椭圆的参数方程的运用，考查三角函数的最值的求法，注意运用乘1法，考查基本不等式的运用，属于中档题．