Question

【题目】已知函数（a∈R），若函数恰有5个不同的零点，则的取值范围是（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用函数的导数，判断函数的单调性求出函数的最值，通过函数的图象，转化求解即可．

当x＞0时，，，

当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

所以f（x）min＝f（1）＝1，

当x≤0时，f（x）＝ax+3的图象恒过点（0，3），

当a≤0，x≤0时，f（x）≥f（0）＝3，

当a＞0，x≤0时，f（x）≤f（0）＝3，

作出大致图象如图所示．

方程f（f（x））﹣2＝0有5个不同的根，即方程f（f（x））＝2有五个解，

设t＝f（x），则f（t）＝2．

结合图象可知，当a＞0时，方程f（t）＝2有三个根t1∈（﹣∞，0），t2∈（0，1），t3∈（1，3）．(，∴1＜t3＜3），于是f（x）＝t1有一个解，f（x）＝t2有一个解，

f（x）＝t3有三个解，共有5个解，

而当a≤0时，结合图象可知，方程f（f（x））＝2不可能有5个解．

综上所述：方程f（f（x））﹣2＝0在a＞0时恰有5个不同的根．

故选：A．