题目内容
【题目】设是椭圆
的四个顶点,菱形
的面积与其内切圆面积分别为
,
.椭圆
的内接
的重心(三条中线的交点)为坐标原点
.
(1)求椭圆的方程;
(2) 的面积是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:
(I)由内切圆面积得半径,即为原点到直线PQ的距离,可得,又四边形PQRS的面积为
,从而可得
,解得
得椭圆方程;
(II)可先求特殊情形下的三角形面积,即斜率不存在时,C为椭圆的左(右)顶点,求得面积为
;当
斜率存在时,设方程为
,代入椭圆方程,并设
,由韦达定理得
,利用O是
的重心,得
表示出C点坐标,把C点坐标代入椭圆方程求得
的关系式为
,由圆锥曲线中的弦长公式求得弦长
,求出C点到直线AB的距离,从而得三角形ABC的面积,代入刚才的关系式可得
,因此结论为存在.
试题解析:
(Ⅰ)∵菱形的面积与其内切圆面积分别为
,
∴,
,
联立解得,
,
故所求椭圆的方程为
.
(Ⅱ)当直线斜率不存在时,
∵为
的重心,∴
为椭圆的左、右顶点,不妨设
,
则直线的方程为
,可得
,
到直线
的距离
,
∴.
当直线的斜率存在时,设直线
方程为:
,
,
.
联立,得
,
则
.
即,
,
,
∴.
∵为
的重心,∴
,
∵点在椭圆
上,故有
,
化简得.
∴
.
又点到直线
的距离
(
是原点到
距离的3倍得到).
∴
.
综上可得, 的面积为定值
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目