Question

【题目】已知三棱锥M-ABC中，MA=MB=MC=AC=，AB=BC=2，O为AC的中点，点N在边BC上，且.

（1）证明：BO平面AMC；

（2）求二面角N-AM-C的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

（1）先证明，即可证明BO平面AMC；

（2）因为两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示．求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到结果.

（1）如图所示：连接，

在中：，则，.

在中：，为的中点，则，且

在中：，满足：

根据勾股定理逆定理得到 相交于，

故平面.

（2）因为两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示．因为,，

则，

由所以，,

设平面的法向量为，则

令，得，

因为平面，所以为平面的法向量，

所以与所成角的余弦为．

所以二面角的正弦值为