题目内容
【题目】如图，在多面体
中，底面
是菱形，
，
，
且
.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若平面
平面，求平面
与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
.
【解析】
（Ⅰ）取
的中点
，连接
，
，易得
，接着通过证明
来得到
平面
，进而可得结论；（Ⅱ）通过面面垂直可得
平面
，进而可建立如图所示的坐标系，求出平面
的法向量，结合平面的一个法向量为
，进而可求得最后结果.
（Ⅰ）取的中点，连接，.∵
，∴.
∵底面是菱形，
，∴
，∴，∵
，∴平面.∵
平面，∴
.
（Ⅱ）∵，平面
平面，平面
平面
，∴平面.
∴可以为原点，
，
，
为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
.
∴
，
，
，∴
，
∴
，即
，∴
.
设平面的一个法向量为
，则
令
，则
.易知平面的一个法向量为.
设平面与平面所成的锐二面角为
，∴
.
∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
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