Question

已知不等式ax²＋bx＋c>0的解集为(1，t)，记函数f(x)＝ax²＋(a－b)x－c.
(1)求证：函数y＝f(x)必有两个不同的零点；
(2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为m，n，求|m－n|的取值范围；
(3)是否存在这样的实数a，b，c及t使得函数y＝f(x)在[－2,1]上的值域为[－6,12]？若存在，求出t的值及函数y＝f(x)的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）见解析   （2）(，＋∞)   （3）f(x)＝－2x²－8x＋4.

解：(1)证明：由题意知a＋b＋c＝0，且－>1，a<0且>1，
∴ac>0，
∴对于函数f(x)＝ax²＋(a－b)x－c有Δ＝(a－b)²＋4ac>0，
∴函数y＝f(x)必有两个不同零点．
(2)|m－n|²＝(m＋n)²－4mn＝＝＝()²＋8＋4，
由不等式ax²＋bx＋c>0的解集为(1，t)可知，
方程ax²＋bx＋c＝0的两个解分别为1和t(t>1)，
由根与系数的关系知＝t，
∴|m－n|²＝t²＋8t＋4，t∈(1，＋∞)．
∴|m－n|>，∴|m－n|的取值范围为(，＋∞)．
(3)假设存在满足题意的实数a，b，c及t，
∵f(x)＝ax²＋(a－b)x－c＝a[x²＋(1－)x－]
＝a[x²＋(1＋)x－]
＝a[x²＋(2＋t)x－t](t>1)，
∴f(x)的对称轴为x＝－1－<－.
∴f(x)在[－2,1]上的最小值为f(1)＝3a＝－6，则a＝－2.
要使函数y＝f(x)在[－2,1]上的值域为[－6,12]，
只要f(x)_max＝12即可．
①若－1－≤－2，即t≥2，f(x)_max＝f(－2)＝12，则有6t＝12，
∴t＝2.
此时，a＝－2，b＝6，c＝－4，t＝2，∴f(x)＝－2x²－8x＋4.
②若－1－>－2，∴1<t<2，f(x)_max＝f(－1－)＝＝12.
∴t＝2或t＝－10，舍去．
综上所述，当a＝－2，b＝6，c＝－4，t＝2时，函数y＝f(x)在[－2,1]上的值域为[－6,12]，此时函数的解析式为f(x)＝－2x²－8x＋4.