Question

【题目】设函数由方程确定，下列结论正确的是________（请将你认为正确的序号都填上）

① 是上的单调递减函数；

② 对于任意，恒成立；

③ 对于任意，关于的方程都有解；

④ 存在反函数，且对任意，总有成立.

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

首先化简所给的方程，画出其对应的图像，然后逐一考查所给的结论是否正确即可.

方程等价于：

，

绘制其对应的曲线如图所示：

据此考查所给的性质：

① 由函数图像可知是上的单调递减函数；

② 注意到两段双曲线的渐近线均为，

故对于任意，恒成立；

③ 很明显函数的值域为R，故对于任意，关于的方程都有解；

④ 很明显单调递减函数的定义域、值域均为，且函数关于直线对称，

故存在反函数，且对任意，总有成立.

综上可得，结论正确的是①②③④.

故答案为：①②③④．