题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,已知双曲线分别为的左,右顶点.

(1)以为圆心的圆与恰有三个不同的公共点,写出此圆的方程;

(2)直线过点,与在第一象限有公共点,线段的垂直平分线过点,求直线的方程;

(3)上是否存在异于,使成立,若存在,求出所有的坐标,若不存在说明理由.

【答案】(1);(2) ;(3)不存在,理由见解析

【解析】

1)求双曲线的左右顶点,可得以A为圆心的圆经过B,求得半径,可得所求圆的方程(2)设直线l的方程为,(),联立双曲线方程,运用韦达定理,可得P的坐标,由中点坐标公式可得AP的中点坐标,再由两直线垂直的条件,解方程可得,进而得到所求直线方程(3)假设l上存在异于A,BM,N,使成立,设,运用向量的坐标表示和点满足双曲线方程,解方程可得M的坐标,即可判断是否存在.

(1)因为双曲线为

所以左右顶点

由题意可得以A为圆心的圆经过B,

则圆的半径,圆的方程为.

(2)直线过点,且直线的斜率存在,

设直线的方程为

联立双曲线方程消去y,可得

可得,可得

可得的中点坐标为

由题意可得,即为,解得(负的舍去)

则直线的方程为

(3)设,

因为,

所以

代入双曲线方程得:

,与点重合,故不存在.

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