Question

14．设函数f（x）=|x-1|+|x+3|
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若a，b∈R且|a|＜2，|b|＜2，求证：|a+b|+|a-b|＜f（x）

Answer 1

分析 （1）根据绝对值不等式的性质进行求解即可．
（2）根据（a+b）（a-b）的符号关系，将绝对值不等式进行化简，结合绝对值不等式的性质进行证明即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=|x-1|+|x+3|≥|1-x+x+3|=4，…（4分）
函数f（x）的最小值为4，…（5分）
（Ⅱ）若（a+b）（a-b）≥0，
则|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|＜4，…（7分）
若（a+b）（a-b）＜0，则|a+b|+|a-b|=|a+b-（a-b）|=2|b|＜4…（9分）
因此，|a+b|+|a-b|＜4，
而f（x）≥4，
故：|a+b|+|a-b|＜f（x）成立…（10分）

点评 本题主要考查绝对值不等式的应用，考查学生的运算和推理能力．