Question

5．数列$\left\{{tan\frac{n}{9}π•tan\frac{n+1}{9}π}\right\}$的前n项和记为S_n，则S₂₀₁₅=（　　）

• A． -2016
• B． -2015
• C． -2014
• D． -1007

Answer 1

分析 利用两角差的正切公式化简即得结论．

解答 解：记a_n=tan$\frac{n}{9}$π•tan$\frac{n+1}{9}$π，
则a_n=$\frac{tan\frac{n}{9}π-tan\frac{n+1}{9}π}{tan（\frac{n}{9}-\frac{n+1}{9}）π}$-1=-1+$\frac{1}{tan\frac{π}{9}}$（tan$\frac{n+1}{9}$π-tan$\frac{n}{9}$π），
∴S₂₀₁₅=-2015+$\frac{1}{tan\frac{π}{9}}$（tan$\frac{2015+1}{9}$π-tan$\frac{2014+1}{9}$π+tan$\frac{2014+1}{9}$π-tan$\frac{2013+1}{9}$π+…+$tan\frac{2}{9}π$-tan$\frac{π}{9}$）
=-2015+$\frac{1}{tan\frac{π}{9}}$（tan$\frac{2015+1}{9}$π-tan$\frac{π}{9}$）
=-2015+$\frac{1}{tan\frac{π}{9}}$（tan224π-tan$\frac{π}{9}$）
=-2015+$\frac{1}{tan\frac{π}{9}}$（0-tan$\frac{π}{9}$）
=-2016，
故选：A．

点评 本题考查数列的求和，利用两角差的正切公式化简是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．