Question

6．函数f（x）=$\frac{x+a}{x-1}$，当且仅当-1＜x＜1时，f（x）＜0．
（1）求常数a的值；
（2）若方程f（x）=mx有唯一的实数解，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）当-1＜x＜1时，（x+a）（x-1）＜0，即可求常数a的值；
（2）方程f（x）=mx，可得mx²-（m+1）x-1=0，分类讨论，利用方程f（x）=mx有唯一的实数解，求实数m的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{x+a}{x-1}$，当且仅当-1＜x＜1时，f（x）＜0，
∴当-1＜x＜1时，（x+a）（x-1）＜0，
∴a=1；
（2）方程f（x）=mx，可得mx²-（m+1）x-1=0
m=0，方程为-x-1=0，x=-1，满足题意，
m≠0，△=（m+1）²+4m=0，∴m=-3±2$\sqrt{2}$，满足题意，
∴m=0或-3±2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查根的存在性及根的个数的判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．