Question

15．已知点G为△ABC的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}$=μ$\overrightarrow{AC}$．证明：$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$为常数．

Answer 1

分析 先设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，接AG并延长AG交BC于M，此时M是BC的中点．于是$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$），$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$），因为P、G、Q三点共线，建立关于参数的等式，消去参数t即得结论．

解答 证明：设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，连接AG并延长AG交BC于M，此时M是BC的中点．
于是$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$），$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$），
又由已知$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}$=μ$\overrightarrow{AC}$
∴$\overrightarrow{PQ}$=μ$\overrightarrow{b}$-λ$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{PG}$=$\overrightarrow{AG}$+$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{1}{3}$-λ）$\overrightarrow{c}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$
因为P、G、Q三点共线，则存在实数t，满足$\overrightarrow{PG}$=t$\overrightarrow{PQ}$
所以（$\frac{1}{3}$-λ）$\overrightarrow{c}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$=tμ$\overrightarrow{b}$-tλ$\overrightarrow{c}$
由向量相等的条件得 $\frac{1}{3}$-λ=-tλ，$\frac{1}{3}$=tμ消去参数t得，$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$=3．

点评 本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心，其中根据向量共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得$\overrightarrow{PG}$=t$\overrightarrow{PQ}$，进而得到x，y的关系式，是解答本题的关键．