Question

10．按照新课程的要求，高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动（以下简称活动）．该校高2010级一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如图所示．
（1）求该班学生参加活动的人均次数$\overline x$；
（2）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率P₀．
（3）从该班中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）根据图形能够知道参加活动1次、2次和3次的学生人数，即可求出该班学生参加活动的人均次数$\overline x$；
（2）“参加活动次数恰好相等”的事件有C₅²+C₂₅²+C₂₀²，任选两名学生有C₅₀²，可得他们参加活动次数恰好相等的概率P₀．
（3）由题意该班中任选两名学生的情况有“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”，ξ的取值有0，1，2，求出其概率，进而可以求出数学期望Eξ．

解答 解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为5、25和20．
（1）该班学生参加活动的人均次数为$\overline x$=$\frac{1×5+2×25+3×20}{50}=\frac{115}{50}=\frac{23}{10}$．
（2）从该班中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为${P_0}=\frac{{C_5^2+C_{25}^2+C_{20}^2}}{{C_{50}^2}}=\frac{20}{49}$．
（3）从该班中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C．易知$P（ξ=1）=P（A）+P（B）=\frac{{C_5^1C_{25}^1}}{{C_{50}^2}}+\frac{{C_{25}^1C_{20}^1}}{{C_{50}^2}}=\frac{25}{49}$；
ξ的分布列：

ξ	0	1	2
P	$\frac{20}{49}$	$\frac{25}{49}$	$\frac{4}{49}$

ξ的数学期望：$Eξ=0×\frac{20}{49}+1×\frac{25}{49}+2×\frac{4}{49}=\frac{33}{49}$．

点评 本题考查概率的计算，考查随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ，考查学生的计算能力，属于中档题．