Question

1．设函数$y=3sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}））$的最小正周期为$\frac{π}{2}$，且其图象关于直线$x=\frac{π}{12}$对称，则下列四个结论中正确的编号为②③（把你认为正确的结论编号都填上）；   
①图象关于直线$x=-\frac{π}{8}$对称； ②图象关于点$（\frac{5π}{24}，0）$对称；③在$[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$上是减函数； ④在$[-\frac{π}{3}，0]$上是增函数．

Answer 1

分析 由周期求得ω，由y的图象关于直线$x=\frac{π}{12}$对称，可得φ的值，可得函数的解析式为 y=3sin（4x+$\frac{π}{6}$）．再根据函数y的解析式，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：由题意可得$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=4．
再根据函数y的图象关于直线$x=\frac{π}{12}$对称，可得4×$\frac{π}{12}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，即φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
故φ=$\frac{π}{6}$，故函数的解析式为 y=3sin（4x+$\frac{π}{6}$）．
令x=-$\frac{π}{8}$，求得y=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，不是最值，故函数的图象不关于直线$x=-\frac{π}{8}$对称，故①不正确．
令x=$\frac{5π}{24}$，求得y=0，故函数的图象关于点$（\frac{5π}{24}，0）$对称，故②正确．
在$[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$上，4x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{5π}{6}$，$\frac{3π}{2}$]，y=3sin（4x+$\frac{π}{6}$）是减函数，故③正确．
在$[-\frac{π}{3}，0]$上，4x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{7π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，y=3sin（4x+$\frac{π}{6}$）不是减函数，故④不正确，
故答案为：②③．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，正弦函数的单调性，属于中档题．