Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）是否存在实数，使得有三个相异零点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（I）求出，分三种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（II）假设有三个相异零点，由（Ⅰ）的讨论可知，一定有且的极大值大于0，极小值小于0，则取得极大值和极小值时或，注意到此时恒有，则必有为极小值，此时极值点满足，即，还需满足，换元后只需证明即可.

试题解析：（Ⅰ）由题可知 .

当，即时，令得，易知在上单调递减，在上单调递增.

当时，令得或.

当，即时，在，上单调递增，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

当时，在，上单调递增，在上单调递减.

（Ⅱ）不存在.

理由如下：假设有三个相异零点.

由（Ⅰ）的讨论，一定有且的极大值大于0，极小值小于0.

已知取得极大值和极小值时或，

注意到此时恒有，则必有为极小值，

此时极值点满足，即，还需满足，

又 ，，

故存在使得，即存在使得.

令，即存在满足.

令，，从而在上单调递增，所以，

故不存在满足，与假设矛盾，从而不存在使得有三个相异零点.