题目内容
（本小题满分14分）
已知双曲线
的一个焦点为(
,0),一条渐近线方程为
,其中
是以4为首项的正数数列,记
.
(Ⅰ)求数列
的通项公式;
(Ⅱ)若数列的前n项的和为Sn,求
;
(Ⅲ)若不等式
+
(a>0,且a≠1)对一切自然数n恒成立,求实数x的取值范围.
已知双曲线
的一个焦点为(,0),一条渐近线方程为,其中是以4为首项的正数数列,记
.(Ⅰ)求数列
的通项公式; (Ⅱ)若数列
的前n项的和为Sn,求;(Ⅲ)若不等式
+(a>0,且a≠1)对一切自然数n恒成立,求实数x的取值范围.解: (Ⅰ)∵双曲线方程为的一个焦点为(
,0),∴
.
又∵一条渐近线方程为,∴
.∴
=2.
∵a1=4,∴是以4为首项的等比数列,an=2n+1.∴cn=3·2n.
(Ⅱ) Sn=c1+c2+…+cn=3(2+22+…+2n)=6(2n－1).
∵ancn=3·22n+1,
∴
∴
(Ⅲ)T=
,①
T=
,②
①－②得T=
,
故原不等式等价于
(n∈N*)恒成立,即
恒成立,
∴≥0恒成立,
故(ⅰ)当a>1时,x≥1.(ⅱ)当0<a<1时,0<x≤1.
的一个焦点为(,0),∴.又∵一条渐近线方程为
,∴.∴=2.∵a1=4,∴
是以4为首项的等比数列,an=2n+1.∴cn=3·2n.(Ⅱ) Sn=c1+c2+…+cn=3(2+22+…+2n)=6(2n－1).
∵ancn=3·22n+1,
∴
∴
(Ⅲ)T=
,①T=,②①－②得T=
,故原不等式等价于
(n∈N*)恒成立,即恒成立,∴
≥0恒成立,故(ⅰ)当a>1时,x≥1.(ⅱ)当0<a<1时,0<x≤1.
略
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的首项为3，
为等差数列且
，若
，则
＝ （ ）
的通项公式为
，求数列
的各项均为正数，
为其前n项和，对于任意的
，满足关系式
的通项公式；
的通项公式是
，求
．
的前
项和为
，对任意的
，点
都在直线
的图像上．
，使得
对一切
中，各项都是正数，且
，
，
成等差数列，则
的值为
的图象经过点
，且对任意
，都有
数列
满足
为正整数时，求
的表达式
，求
，总有
，求实数
的取值范围
满足前2项的和为5，前6项的和为3．
，求数列
的前
项和