Question

17．函数f（x）=log_ax+b（a＞0，a≠1）的图象过点（2，1），其反函数的图象过点（2，8），则f（x）在[$\frac{1}{2}$，4]上的最大值与最小值之差为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 利用函数经过的点求出a，b，然后利用对数函数的单调性求解函数最值即可．

解答 解：函数f（x）=log_ax+b（a＞0，a≠1）的图象过点（2，1），其反函数的图象过点（2，8），
可得log_a2+b=1，…①，
则函数的图象过点（8，2），
即log_a8+b=2，即3log_a2+b=2，…②
②-①，可得log_a2=$\frac{1}{2}$，
∴a=4，b=$\frac{1}{2}$，
函数f（x）=log_ax+b，即函数f（x）=log₄x+$\frac{1}{2}$，是增函数，
f（x）在[$\frac{1}{2}$，4]上的最大值与最小值之差为：log₄4-log₄$\frac{1}{2}$=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查函数的最值，对数函数的图象与性质的应用，考查计算能力．