题目内容
【题目】已知为正整数,各项均为正整数的数列
满足:
,记数列
的前
项和为
.
(1)若,求
的值;
(2)若,求
的值;
(3)若为奇数,求证:“
”的充要条件是“
为奇数”.
【答案】(1);(2)
或
;(3)见解析.
【解析】
(1)利用递推公式直接代入求值.
(2)分类讨论当为奇数和偶数的情况,再讨论
为奇数和偶数的情况,求得
的值.
(3)先证充分性(易证得),再证必要性,用数学归纳法证明.
解:(1),
,则前7项为8,4,2,1,3,5,7,故
.
(2)由题设
是整数.
①若为奇数,可设
,
,则
是偶数,得
,
则,此时
,符合题意
②若为偶数,可设
,
,则
,
当是偶数时,可设
,得
,
,
则,此时
不存在.
当是奇数时,可设
,得
,
,
,则
,得
,得
.
综合①②可得,或
.
(3)充分性:若为奇数,则
;
必要性:先利用数学归纳法证:(
为奇数);
(
为偶数).
①,
,
成立;
②假设时,
(
为奇数);
(
为偶数).
③当时,当
是偶数,
;当
是奇数,
,此时
是偶数.
综上,由数学归纳法得(
为奇数);
(
为偶数).
从而若时,必有
是偶数.进而若
是偶数,则
矛盾,故
只能为奇数.

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