题目内容
【题目】已知以点为圆心的圆过点
和
,线段
的垂直平分线交圆
于点
、
,且
,
(1)求直线的方程; (2)求圆
的方程。
(3)设点在圆
上,试探究使
的面积为 8 的点
共有几个?证明你的结论
【答案】(1);(2)
或
;(3)2
【解析】分析:(1)根据直线是线段
的垂直平分线的方程,求出线段
中点坐标和直线
的斜率,即可解直线
的方程;
(2)设圆心,则由
在
上得
,又直径
,得
,求得
或
,分别代入,即可求解圆的方程;
(3)由,由三角形的面积公式,得点
到直线
的距离,再由圆心到直线
的距离得圆
的半径,进而得到面积结论.
详解:(1)∵,
的中点坐标为
∴直线的方程为:
即
(2)设圆心,则由
在
上得
①
又直径,∴
∴
②
①代入②消去得
,解得
或
当时
,当
时
∴圆心
或
∴圆的方程为:
或
(3)∵
∴当面积为 8 时,点
到直线
的距离为
又圆心到直线的距离为
,圆
的半径
,且
∴圆上共有两个点,使
的面积为 8
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