Question

【题目】已知点 为坐标原点， 是椭圆 上的两个动点，满足直线 与直线 关于直线 对称.
（1）证明直线 的斜率为定值，并求出这个定值；
（2）求 的面积最大时直线 的方程.

Answer 1

【答案】
（1）证明：设直线 方程为： ，代入 得

设 ，因为点 在椭圆上，所以

又由题知，直线 的斜率与 的斜率互为相反数，在上式中以 代 ，可得
，
所以直线 的斜率
故答案为:直线 的斜率为定值，其值为
（2）解：由（1）可设直线 方程为： ，代入 得
，则 .由 可得 .
， 到直线 的距离 ，
可得 ，
当且仅当 （满足 ），即 时取等.
故答案为:直线 的方程为： ，或 .
【解析】(1)将直线方程代入椭圆方程中消去y得关于x的一元二次方程,由韦达定理得到两根和与积,由斜率公式求斜率;
(2)将三角形的面积表示为m的函数式,由二次函数求最值.