题目内容

【题目】锐角△ABC中,其内角A、B满足:2cosA=sinB﹣ cosB.
(1)求角C的大小;
(2)D为AB的中点,CD=1,求△ABC面积的最大值.

【答案】
(1)解:∵2cosA+ cosB=sinB,可得:cosA= sinB﹣ cosB=cos( ﹣B),

又∵A,B为锐角,

∴0 ﹣B<

∴A= ﹣B,A+B= ,可得:C=π﹣ =


(2)解:设∠ACD=α,延长CD到E,使CD=DE,

则AEBC为平行四边形,

在△ACE中,AC=b,AE=BC=α,CE=2,∠CAE= ,∠AEC= ﹣α,

由正弦定理可得: = =

所以,a=4sinα,b=4sin( ﹣α),

SABC= absin∠ABC= sin

=4sinαsin( ﹣α)=2sinαcosα﹣2 sin2α

=sin2α+ cos2α﹣ =2sin(2α+ )﹣

当α= 时,△ABC的面积取得最大值,最大值为2﹣


【解析】(1)由已知利用特殊角的三角函数值,两角差的正弦函数公式可得cosA=cos( ﹣B),结合A,B为锐角,利用三角形内角和定理可求C的值.(2)设∠ACD=α,延长CD到E,使CD=DE,则AEBC为平行四边形,在△ACE中,由正弦定理可得a=4sinα,b=4sin( ﹣α),利用三角形面积公式,三角函数恒等变换的应用化简可得SABC=2sin(2α+ )﹣ ,利用正弦函数的性质可求△ABC面积的最大值.
【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义的相关知识点,需要掌握正弦定理:才能正确解答此题.

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