Question

【题目】已知函数f（x）=（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）（其中a∈R，且a为常数）
（1）若对于任意的x∈（1，+∞），都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若方程f（x）+a+1=0在x∈（0，2]上有且只有一个实根，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）∵f（x）=（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1），
∴f′（x）=2（x﹣1）+a（﹣1）=（x﹣1）（2﹣）；
且f（1）=0+a（ln1﹣1+1）=0，
①当a≤2时，f′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，
故f（x）＞=f（1）=0；
②当a＞2时，
可知f（x）在（1，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数；
故f（）＜0；
综上所述，a≤2；
（2）f（x）+a+1=（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）+a+1，
当a＜0时，f（x）+a+1在（0，1]上是减函数，在（1，2]上是增函数；
且（（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）+a+1）=+∞，
f（1）+a+1=a+1，f（2）+a+1=1+a（ln2﹣1）+a+1；
故a+1=0或1+a（ln2﹣1）+a+1＜0；
故a=﹣1或a＜﹣；
当a=0时，f（x）+a+1=（x﹣1）2+1＞0，故不成立；
当0＜a＜2时，
f（x）+a+1在（0，]上是增函数，在（，1]上是减函数，在（1，2]上是增函数；
且（（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）+a+1）=﹣∞，
f（1）+a+1=a+1＞0，
故方程f（x）+a+1=0在x∈（0，2]上有且只有一个实根，
当a=2时，f（x）+a+1=（x﹣1）2+2（lnx﹣x+1）+2+1=（x﹣1）2+2（lnx﹣x+1）+3，
故f（x）在（0，2]上是增函数；
且（（x﹣1）2+2（lnx﹣x+1）+3）=﹣∞，f（1）=3＞0；
故方程f（x）+a+1=0在x∈（0，2]上有且只有一个实根，
综上所述，a＜﹣或a=﹣1或0＜a≤2．
【解析】（1）求导f′（x）=2（x﹣1）+a（﹣1）=（x﹣1）（2﹣），且f（1）=0+a（ln1﹣1+1）=0，从而讨论以确定函数的单调性，从而解得；
（2）化简f（x）+a+1=（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）+a+1，从而讨论以确定函数的单调性，从而解得．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．